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[컴퓨터구조] 이진수의 음수 표현컴퓨터구조 2021. 6. 7. 22:33
않이... 0과 1로 '-' 를 어떻게 표현해요..?
MSB(Most Significant Bit)
가장 중요한 비트
2진수 예시를 하나 들어보겠습니다
10진수 33 33 = 32 + 1 = 2^5 + 2^0 = 2^5 * 1 + 2^4 * 0 + 2^3 * 0 + 2^2 * 0 + 2^1 * 0 + 2^0 * 1
밑줄 친 숫자만 모으면 2진수 100001 가 만들어집니다
밑줄 친 비트를 보면 왼쪽으로 갈 수록 2의 지수가 1씩 증가합니다. 즉 비트의 1이나 0이냐 여부에 따라서 수의 총합에 미치는 영향이 증가한다는 것입니다.
2진수 100001에서 1인 비트는 2개인데, 맨 왼쪽 비트와 맨 오른쪽 비트는 같은 1인데, 왼쪽 비트는 1이냐 0이냐에 따라 32 차이가 나고, 오른쪽 비트는 1이냐 0이냐에 따라 1의 차이가 납니다.
이렇게 수에 영향을 가장 크게 미치는 비트, 가장 중요한 비트, 가장 왼쪽의 비트를 MSB, Most Significant Bit라고 부릅니다
LSB(Least Significant Bit)
반대로 영향을 가장 적게 미치는 비트, 가장 중요하지 않은 비트, 가장 오른쪽의 비트를 LSB, Least Significant Bit 라고 합니다
컴퓨터에서 수를 표현할 때, MSB가 부호를 결정하며, 1이면 음수, 0이면 양수임을 뜻합니다.
즉 맨 앞의 비트는 부호를, 두번째부터 끝까지 비트로 수 자체를 나타냅니다.
음수를 나타내는 방법
1. 부호 있는 절대치
가장 간단하게 음수를 표현하면서 사람에게 친화적인 방식으로 음수를 나타내는 방법입니다
MSB가 0이면 양수 1이면 음수입니다.
MSB를 제외한 비트를 통해서 양수와 음수 상관없이 동일한 방식으로 수를 만들면 됩니다.
예시10진수 -33 마찬가지로 33을 2진수로 표현하면 100001 입니다 음수이므로 MSB에 1을 붙여줘야 하므로 '1' + '100001' = '1100001' 입니다
10진수 33 2진수로 표현하면 100001입니다. 양수이므로 MSB에 0을 붙어줘야 하므로 '0' + '100001' = '0100001' 입니다
n개의 비트가 있다면 1개는 MSB로 부호 비트이고 n-1개의 비트로 수를 표현합니다. 따라서 0과 함께, 양수는 2^(n-1)-1, 음수는 -(2^(n-1)-1) 까지 표현 가능합니다.부호 있는 절대치의 장, 단점
장점
- 사람 친화적이어서 이해하기 쉽고, 사람이 읽기, 변환하기 쉽습니다
단점- 컴퓨터의 주 기능은 연산인데, 부호 있는 절대치는 음수가 포함된 연산이 불가능합니다.
1 + (-1) = 0 (10진수 연산)이지만
0001 + 1001 = 1010 (부호 있는 절대치의 연산) => 1 + (-1) = (-2) 라는 결과가 나옵니다. - 0을 표시하는 방법이 두가지입니다.
4비트 수라고 하면 0000, 1000 모두 0을 뜻합니다. 즉 +0과 -0을 모두 표시하기 때문에 혼란이 생길 수 있습니다 - 컴퓨터에서 사용하지 않습니다
2. 1의 보수(1's Complement)
음수를 표현하기 위해서 양수에 not(~) 비트연산을 하는 방법입니다
모든 비트를 반전시킵니다. 0 -> 1, 1 -> 0예시)
10진수 33
2진수로 표현하면 100001입니다. 양수이므로 MSB에 0을 붙어줘야 하므로 '0' + '100001' = '0100001' 입니다
10진수 -33
33을 2진수로 표현하면 100001 입니다
모든 비트를 반전시키면 '011110' 입니다
음수이므로 MSB 로 1을 추가해 줍니다. '1' + '011110' = '1011110'n개의 비트가 있다면 1개는 MSB로 부호 비트이고, n-1개의 비트로 수를 표현하되, 음수의 경우에는 비트를 뒤집어서 반전시켜야지 수를 얻을 수 있습니다.
1011110 을 다시 10진수로 바꾸기 위해서는 MSB를 제외한 n-1개 비트를 반전시킵니다
011110 -> 100001 -> 33
MSB가 1이었으므로 이 수는 음수입니다. 따라서 -33 이 됩니다
마찬가지로 n-1개의 비트로 표현을 하므로 양수는 2^(n-1)-1, 음수는 -(2^(n-1)-1) 까지 표현 가능합니다.1의 보수의 장, 단점
장점
- 2의 보수에 비해서 1의 보수를 만들기 쉽습니다. 비트 반전만 시키면 되기 때문!
단점
- 부호 있는 절대치와 같이 0이 두개입니다.
+0 = 0000
그러면 1111은..? MSB인 1을 뺀 111을 부호 반전시키면 000입니다. 000은 0이고, MSB가 1이었기 때문에 -0 이 만들어집니다. - 연산이 가능하지만 과정이 조금 복잡합니다
5 + (-1) 을 계산해 보겠습니다
10진수 5
-> 2진수 0101
10진수 -1
-> 1 이 0001 이므로 비트 반전시키면 1110
0101
+1110
ㅡㅡㅡ
10011
이런... 4-bit였는데 5-bit가 되어버렸습니다.
이런 경우 carry가 발생했다고 하며 ('1'0011) 잉여로 올림으로 발생한 비트를 carry bit 라고 부릅니다
1의 보수의 연산은 이 carry를 원래 수에 더해주어야 합니다.
'10011' -> '1' + '0011' -> '0100' = 4
이렇게 carry를 더해주고 나서야 5 + (-1) 의 결과인 4가 제대로 출력되었습니다.
3. 2의 보수(2's Complement)
1의 보수를 구한 후 1을 더해주는 방법으로, 모든 비트를 반전시킨 후 + 1 을 해줍니다
예시)
10진수 33
2진수로 표현하면 100001입니다. 양수이므로 MSB에 0을 붙어줘야 하므로 '0' + '100001' = '0100001' 입니다
10진수 -33
33을 2진수로 표현하면 100001 입니다
모든 비트를 반전시키면 '011110' 입니다.
음수이므로 MSB로 1을 추가해줍니다 '1' + '011110' = '1011110'
여기에 1을 더합니다. '1011110' + '0000001' = '1011111'2진수에서 다시 10진수로 바꾸기 위해서는 이 과정을 반대로 해야 합니다.
비트 반전 후 1을 더해줬었으므로, 반대로 1을 먼저 빼고 비트 반전을 시켜줍니다
예시)
2진수 '1011111'
MSB를 분리시킵니다 '1011111' -> '1', '011111'
1을 뺍니다 '011111' - '000001' = '011110'
반전시킵니다 '011110' -> '100001'
'100001'은 33이고, MSB 가 1이었으므로 -33입니다.1의 보수와는 달리 0이 두개가 아닙니다
2진수 1111
MSB 1을 분리시킵니다 '1111' -> '1', '111'
1을 뺍니다 '111' - '001' = '110'
반전시킵니다 '110' -> '001'
'001'은 1이고 MSB가 1이었으므로 -1입니다
1의 보수에서는 1111이 -0이었지만 2의 보수에서는 -1이 되었습니다-0이 없기 때문에 음수를 1개 더 표현할 수 있습니다
2진수 1000
2의 보수에서 예외인 수입니다. 2의 보수 연산을 해도 그대로 1000이 나옵니다.
MSB가 1이고, 나머지 n-1개의 비트가 0인 경우 이 수는 -2^(n-1)을 뜻합니다.
1의 보수나 부호있는 절대치와는 달리 -0이 없기 때문에 음수에서 하나를 더 표기할 수 있게 되어서 생긴 예외입니다표현범위는 0, 양수는 2^(n-1)-1까지, 음수는 -2^(n-1) 까지 표현 가능합니다.
4개 비트인 경우1의 보수: -7 ~ 7 까지 표기 가능, 0이 두개
2의 보수: -8 ~ 7 까지 표기 가능, 0은 1개
부호있는 절대치: -7 ~ 7까지 표기 가능, 0이 두개2의 보수의 장 / 단점
장점
- 1의 보수에 비해 연산이 간단합니다. carry 발생시 버립니다.
5 + (-1) 을 계산해 보겠습니다
10진수 5
-> 2진수 0101
10진수 -1
-> 1 이 0001 이므로 비트 반전시키면 1110, 1을 더해야 하므로 '1110' + '0001' = '1111'
0101
+1111
ㅡㅡㅡ
10100
역시 carry가 발생했습니다.
1의 보수 연산과는 달리, 2의 보수 연산의 경우 그냥 carry를 버려주면 됩니다.
'10100' -> '0100' = 4
5 + (-1) 의 결과인 4가 제대로 출력되었습니다. - 0이 한개 뿐이므로 혼란이 생기지 않습니다
단점
- 1의 보수에 비해서 음수 만들기가 복잡합니다
부록. Overflow와 Carry
알고리즘 문제를 풀다보면 숟하게 만나게 되는 Stack Overflow... 에서 Overflow가 무엇일까요?
overflow(넘치다, 범람, 넘쳐 흐름)
2진수 연산을 했을 때, 수의 범위가 표현이 불가능해지는 경우 overflow가 발생합니다.
4-bit 수라면 -8 ~ 7 까지 표현이 가능합니다.5 + 4 = 9 입니다. 9는 4-bit 수로 표현이 불가능합니다.
10진수 5 -> 2진수 0101
10진수 4 -> 2진수 0100
덧셈 ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
9 1001
덧셈 결과가 1001이 되었습니다.
1001 은 9가 아닌가? 할 수 있지만, 사실 맨앞의 1은 8이 아니라 MSB로 부호비트이기 때문에 -7이 되어버립니다.
즉 해당 n개의 bit로 표현 불가능한 범위로 연산을 진행하면 overflow가 발생했다고 하며 연산결과에 문제가 생깁니다.Carry
2진수 연산을 했을 때, n+1 번째 bit가 생기는 경우 carry가 발생했다고 합니다.
10진수 5-> 2진수 0101
10진수 -1
-> 1 이 0001 이므로 비트 반전시키면 1110
0101
+1110
ㅡㅡㅡ
10011
이 경우 4 bit 엿는데 5 bit 수가 되었으므로 n+1번째 bit가 발생했으므로 carry가 발생했다고 합니다.n-bit 2의 보수의 경우
n+1 번째 bit가 생겼다 -> carry가 발생했다. -> 문제 없음
n 번째 bit(MSB)에 문제가 생겼다 -> overflow가 발생했다 -> 표현 가능한 값의 범위를 넘어섰음 -> 문제발생